Question

2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A；
（2）求sinB+sinC的最大值；
（3）若sinB+sinC=1，判断△ABC的性状．

Answer 1

考点：正弦定理,三角形的形状判断,三角函数的最值

专题：解三角形

分析：（1）根据正弦定理，设

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a²=b²+c²+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．
（2）根据（1）中A的值，可知c=60°-B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．
（3）把（1）中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sinB+sinC=1联立求得sinB和sinC的值，进而根据C，B的范围推断出B=C，可知△ABC是等腰的钝角三角形．

解答： 解：由正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∵2asinA=（2a+c）sinB+（2C+b）sinC，
方程两边同乘以2R，
∴2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
整理得a²=b²+c²+bc，
∵由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
故cosA=-

1

2

，A=120°．
（2）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC
=sinB+sin（60°-B）
=

3

2

cosB+

1

2

sinB
=sin（60°+B），
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．
（3）（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin²A=sin²B+sin²C+sinBsinC．
变形得

3

4

=（sinB+sinC）²-sinBsinC
又sinB+sinC=1，得sinBsinC=

1

4

，
上述两式联立得sinB=sinC=

1

2

，
因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，
故B=C=30°，
所以△ABC是等腰的钝角三角形．

点评：本题主要考查了正弦定理与余弦函数的应用．主要用于解决三角形中边、角问题，应熟练掌握，在解三角形问题中一般借助正弦定理和余弦定理边化角，角化边达到解题的目的．考查计算能力，属于中档题．