Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，，直线的参数方程为 为参数）．

（1）若与相交，求实数的取值范围；

（2）若，设点在曲线上，求点到的距离的最大值，并求此时点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为，此时点坐标为.

【解析】

（1）利用参数方程与普通方程的互化公式求出曲线和直线的普通方程，将与的方程联立得到关于的一元二次方程，根据题意，利用方程的判别式求解即可；

（2）由（1）可知的普通方程，设点，利用点到直线的距离公式和辅助角公式求出点到的距离的最大值，结合之间的关系，利用诱导公式求出此时的值即可求出点的坐标.

（1）由题意可知，曲线的普通方程为，

直线的普通方程为，

将与的方程联立，得，

因为与相交，所以，

整理得，解得，

所以实数的取值范围是．

（2）当时，的普通方程为 ，

设点，则点到的距离为

，

其中，又因为，

所以当即时，，

所以，

，所以．