Question

15．已知{a_n}数列为正项等比数列，a₁=2，a₃=8，
（1）求{a_n}通项公式；
（2）求{na_n}的前n项和Tn．

Answer 1

分析 （1）利用正项等比数列通项公式列出方程，求出公比q=2，由此能求出{a_n}通项公式．
（2）由na_n=n•2ⁿ，利用错位相减法能求出{na_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵{a_n}数列为正项等比数列，a₁=2，a₃=8，
∴${a}_{3}=2{q}^{2}=8$，解得q=2，
∴{a_n}通项公式a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（2）∵na_n=n•2ⁿ，
∴{na_n}的前n项和：
T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n×2ⁿ⁺¹
=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查等比数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等比数列、错位相减法等等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．