Question

已知数列{a_n}中．a₁=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_2n}与{a_2n-1}（n∈N^*）都是等比数列
（2）若数列{a_n}的前2n项的和为T_2n，令b_n=（3-T_2n）•n（n+1），求数列{b_n}的最大项．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+1a_n+2=（

1

2

）ⁿ⁺¹，从而

an+2

an

=

1

2

，又a₁=1，a₂=

1

2

，由此能证明数列{a_2n-1}是以1为首项，以

1

2

为公比的等比数列，数列{a_2n}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
（2）T_2n=

1- 1 2n

1- 1 2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=3-

3

2n

．从而b_n=（3-T_2n）•n（n+1）=3n（n+1）（

1

2

）ⁿ，由此能求出数列{b_n}的最大项．

解答： （1）证明：∵数列{a_n}中．a₁=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ（n∈N^*），
∴a_n+1a_n+2=（

1

2

）ⁿ⁺¹（n∈N^*），
∴

an+2

an

=

1

2

，
∵a₁=1，∴a₂=

1

2

，
∴数列{a_2n-1}是以1为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
数列{a_2n}是以

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列．
（2）解：由（1）得T_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=

1- 1 2n

1- 1 2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=3-

3

2n

．
∴b_n=（3-T_2n）•n（n+1）
=3n（n+1）（

1

2

）ⁿ，
b_n+1=3（n+1）（n+2）（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴b_n+1-b_n=3（n+1）（

1

2

）ⁿ（

n+2

2

-n）
=3（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹（2-n），
∴b₁b₄＞…＞b_n，
∴（b_n）_max=b₂=b₃=

9

2

．

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的最大项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意作差比较法的合理运用．