Question

12．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），垂直于x轴的焦点弦的弦长为$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，直线$x-2y+\sqrt{2}=0$与以原点为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．
（1）求该椭圆C的方程；
（2）过右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△MFD的面积为S₁，△OED的面积为S₂．求$\frac{{{S_1}{S_2}}}{S_1^2+S_2^2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，点到直线的距离公式及离心率公式可知$\frac{丨\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{c}{a}$，利用椭圆的几何性质即可求得a和b的值；
（2）由（1）可知$F（\sqrt{2}，0）$，直线AB的斜率不存在，则M，F不合题意，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理求得M点坐标，根据直线垂直，k•k_MD=-1，分别求得k和k_MD，根据三角形相似，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{丨MD{丨}^{2}}{丨DO{丨}^{2}}$=$\frac{{{S_1}{S_2}}}{S_1^2+S_2^2}=\frac{1}{{\frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_1}}}$$∈（0，\frac{36}{97}）$．

解答 解：（1）由题意可知：$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$，
由点到直线的距离公式d=$\frac{丨\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{c}{a}$，
由椭圆的几何性质，a²=b²+c²，
解得：a³=5，b³=3，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（2）由（1）知$F（\sqrt{2}，0）$，若直线AB的斜率不存在，则M，F不合题意，
∴直线AB的斜率存在且不为0，设其方程为$y=k（x-\sqrt{2}）$，
代入$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{3}=1$中，整理得：$（5{k^2}+3）{x^2}-10\sqrt{2}{k^2}x+10{k^2}-15=0$，
由韦达定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{{10\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}$，${y_1}+{y_2}=\frac{{-6\sqrt{2}k}}{{5{k^2}+3}}$…（6分）
∴$M（\frac{{5\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}，\frac{{-3\sqrt{2}k}}{{5{k^2}+3}}）$，
∵AB⊥MD，
∴k•k_MD=-1，
∴$k•\frac{{\frac{{-3\sqrt{2}k}}{{5{k^2}+3}}-0}}{{\frac{{5\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}-{x_D}}}=-1$，
∴${x_D}=\frac{{2\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}$即$D（\frac{{2\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}，0）$，
∵△MFD～△OED，
∴$\frac{S_1}{S_2}=\frac{{|MD{|^2}}}{{|DO{|^2}}}=\frac{{{{（\frac{{5\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}-\frac{{2\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}）}^2}+{{（\frac{{-3\sqrt{2}k}}{{5{k^2}+3}}-0）}^2}}}{{{{（\frac{{2\sqrt{2}{k^2}}}{{5{k^2}+3}}）}^2}}}$，
=$\frac{9}{4}（1+\frac{1}{k^2}）＞\frac{9}{4}$$\frac{{{S_1}{S_2}}}{S_1^2+S_2^2}=\frac{1}{{\frac{S_1}{S_2}+\frac{S_2}{S_1}}}$$∈（0，\frac{36}{97}）$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，直线垂直的充要条件，三角形相似问题，考查计算能力，属于中档题．