Question

【题目】已知函数．

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若不等式对，恒成立，求正数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）求函数的导数，当时，分类讨论也可求得的单调性；

（2）若不等式对，恒成立，将原问题等价于对任意的，有成立，设，，，，求函数的最值从而可求正数的取值范围．

解：函数．

所以．

（1）①当时，，在上单调递增，

②当时，，，在上单调递增，

，．在上单调递减；

，，在上单调递增．

③当时，，，在上单调递增，

，，在上单调递减；

，．在上单调递增；

（2）若不等式对，恒成立，

原问题等价于对任意的，有成立，

设，，，，

，

令，得：；令，得：．

所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，

与中的较大者，

设，

则，

所以在上单调递增，故，即，

从而，故，即．

设，则有，

所以在上单调递增，

又因为，

所以，可得：，

因为，所以的取值范围为：，．