Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为，且椭圆的离心率为，过作轴的垂线与椭圆交于两点，且，动点在椭圆上．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）记椭圆的左、右顶点分别为，且直线的斜率分别与直线（为坐标原点）的斜率相同，动点不与重合，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根据离心率以及通径的长度，建立的方程组，求解方程组即可得到结果；

（2）根据点在椭圆上，可推导出为定值；分类讨论直线的斜率，当斜率存在时，设出直线的方程，联立椭圆方程，由，得到之间的关系；再求弦长以及原点到直线的距离，结合之间的关系，即可容易得到结果.

（1）联立方程得解得，

故，即，

又，，

所以，

故椭圆C的标准方程为.

（2）由（1）知，，设，

则，

又，即，

所以，所以.

当直线的斜率不存在时，

直线的斜率分别为或，

不妨设直线的方程是，

由得，．

取，则，

所以的面积为.

当直线的斜率存在时，设方程为．

由得．

因为在椭圆上，所以，

解得．

设，，则，.

所以

．

设点到直线的距离为，则．

所以的面积为①

因为，

所以

由，得， ②

由①②，得．

综上所述，的面积为．