Question

已知△ABC的内角A、B的对边分别为a、b，A=45°，cosC=

3

5

．
（Ⅰ）求sinB；  
 （Ⅱ）若a+b=12，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由C为三角形的内角及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，由诱导公式及三角形的内角和定理得到sinB=sin（A+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出sinB的值；
（Ⅱ）由sinA和sinB的值，利用正弦定理得出a与b的关系式7a=5b，与已知的a+b=12联立求出a与b的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵在△ABC中，cosC=

3

5

，
∴sinC=

1-cos2C

=

4

5

，
∵B=180°-（A+C），A=45°，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

2

2

×

3

5

+

2

2

×

4

5

=

7 2

10

；…（6分）
（Ⅱ）∵sinA=

2

2

，sinB=

7 2

10

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：

a

b

=

sinA

sinB

=

2 2

7 2 10

=

5

7

，即7a=5b①，
又a+b=12②，
联立①②解得：a=5，b=7，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×5×7×

4

5

=14．…（14分）

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．