Question

已知函数f（x）=ln

x

2

-f′（1）x+1，x∈（0，+∞）．
（1）求f′（2）；
（2）求f（x）的单调区间和极值；
（3）设a≥1，函数g（x）=x²-3ax+2a²-5，若对于任意x₀∈（0，1），总存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，令x=1，x=2，即可得到；
（2）求出导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极值；
（3）分别求出f（x），g（x）的值域，再由题意可得它们存在包含关系，解不等式即可得到范围．

解答： 解：（1）∵f′(x)=

1

x

-f′(1)，
∴f'（1）=1-f'（1），f′(1)=

1

2

，
则f′(2)=

1

2

-

1

2

=0；
（2）由（1）知f(x)=ln

x

2

-

1

2

x+1，导数 f′(x)=

1

x

-

1

2

=

2-x

2x

．
∴当x＞2时，f'（x）＜0，当0＜x＜2时，f'（x）＞0．
∴f（x）的单调递增区间为（0，2），
单调递减区间为（2，+∞），极大值为f（2）=0；
（3）∵g'（x）=2x-3a（a≥1），
∴当x∈（0，1）时，g'（x）=2x-3a＜0，g（x）单调递减，
此时g（x）值域为（2a²-3a-4，2a²-5）．
由（1）得，当x∈（0，2）时，f（x）值域为（-∞，0），
由于对于任意x₀∈（0，1），总存在x₁∈（0，2），使得f（x₁）=g（x₀）成立，
即有（2a²-3a-4，2a²-5）⊆（-∞，0），
即2a²-5≤0，所以1≤a≤

10

2

．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查恒成立和存在性问题，注意转化为求函数的最值或值域问题，考查运算能力，属于中档题和易错题．