Question

已知函数f（x）=e^x（x²+ax+b）的图象在x=0处的切线方程为y=3，其中有e为自然对数的底数．
（1）求a，b的值；
（2）当-2＜x＜t时，证明f（t）＞

13

e2

；
（3）对于定义域为D的函数y=g（x）若存在区间[m，n]⊆D时，使得x∈[m，n]时，y=g（x）的值域是[m，n]．则称[m，n]是该函数y=g（x）的“保值区间”．设h（x）=f（x）+（x-2）e^x，x∈（1，+∞），问函数y=h（x）是否存在“保值区间”？若存在，求出一个“保值区间”，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）f（x）=e^x（x²+ax+b），f′（x）=e^x（x²+（a+2）x+b+a）；由题意得

f′(0)=0 f(0)=3

，从而解a，b的值；
（2）求导确定函数的单调区间，从而求得f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数，从而求f（x）在（-2，+∞）的取值范围；
（3））h（x）=f（x）+（x-2）e^x=e^x（x²-2x+1），x∈（1，+∞），h′（x）=e^x（x²-1）＞0，从而得方程x+

1

x

-

1

ex

-2=0在（1，+∞）存在两个根，构建d（x）=x+

1

x

-

1

ex

-2在（1，+∞）存在两个零点．从而判断．

解答： 解：（1）f（x）=e^x（x²+ax+b），f′（x）=e^x（x²+（a+2）x+b+a）；

f′(0)=0 f(0)=3

，
解得，a=-3，b=3；
（2）证明：f′（x）=e^x（x²-x）＞0；
则x∈（-∞，0）∪（1，+∞），
故f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上是增函数，
在（0，1）上是减函数，
又∵f（-2）=

13

e2

＜f（1）=e；
∴t＞-2时，f（t）＞

13

e2

，
（3）由题意，h（x）=f（x）+（x-2）e^x=e^x（x²-2x+1），x∈（1，+∞），
h′（x）=e^x（x²-1）＞0，
则h（x）在（1，+∞）单调递增，
设存在[m，n]，
则

em(m-1)2=m en(n-1)2=n

即方程x+

1

x

-

1

ex

-2=0在（1，+∞）存在两个根，
构建d（x）=x+

1

x

-

1

ex

-2在（1，+∞）存在两个零点．
又d′（x）=

x2-1

x2

+

1

ex

＞0，
∴d（x）=x+

1

x

-

1

ex

-2在（1，+∞）上单调递增，
又∵d（1）＜0，d（3）＞0；
∴存在（1，3）之内只有一个实数根，
因此不存在如题所述的“保值区间”．

点评：本题考查了导数的综合应用及对新定义的接受能力，属于难题．