Question

已知函数f（x）=lnx-ax²，
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知存在正数α、β满足α≠β，f（α）=f（β）．
①若α、β都属于区间[1，3]，且β-α=1，求实数a的取值范围．
②求证：α+β＞

2 a

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,不等式的证明

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求函数f（x）=lnx-ax²的定义域是（0，+∞），再求导f′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，讨论导数的正负以确定单调性；
（Ⅱ）①讨论

2a

2a

在[1，3]间的位置，从而转化存在属于区间[1，3]的α、β，且β-α=1，使f（α）=f（β），从而求解．
②结合函数的图象可知，α+β＞2

2a

2a

，从而可得α+β＞

2 a

．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx-ax²的定义域是（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，
①当a≤0时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，由f′（x）＞0解得，x＜

2a

2a

；
故f（x）在（0，

2a

2a

）单调递增，在（

2a

2a

，+∞）上单调递减；

（Ⅱ）①当1＜

2a

2a

≤2，即

1

8

≤a＜

1

2

时，
f（2）≥f（1），
即a≤

ln2

3

，
故

1

8

≤a≤

ln2

3

；
当2＜

2a

2a

＜3，即

1

18

≤a＜

1

8

时，
f（2）≥f（3），
即a≥

ln 3 2

5

，
故

ln 3 2

5

≤a＜

1

8

；
综上所述，实数a的取值范围是[

ln 3 2

5

，

ln2

3

]．
②证明：∵f′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，
∴f（x）在（0，

2a

2a

）单调递增，在（

2a

2a

，+∞）上单调递减；
且增长的速度大于减小的速度，
故α+β＞2

2a

2a

，
即α+β＞

2 a

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题及函数的图象的应用，属于难题．