Question

已知函数f（x）=

a

x

-x，且对任意的x∈（0，1），都有f（x）•f（1-x）≥1恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：化简所求f（x）•f（1-x）≥1为

a2

x(1-x)

+x（1-x）-a（

x

1-x

+

1-x

x

）-1≥0，令x（1-x）=t（0＜t≤

1

4

），即有t²+（2a-1）t+a²-a≥0，令f（t）=t²+（2a-1）t+a²-a（0＜t≤

1

4

），讨论对称轴和区间的关系，列出不等式，解出它们，求并集即可．

解答： 解：由于函数f（x）=

a

x

-x，
f（x）•f（1-x）≥1即为（

a

x

-x）（

a

1-x

-1+x）≥1，
则

a2

x(1-x)

+x（1-x）-a（

x

1-x

+

1-x

x

）-1≥0，
令x（1-x）=t（0＜t≤

1

4

），
则上式即为

a2

t

+t-a•

1-2t

t

-1≥0，即有t²+（2a-1）t+a²-a≥0，
令f（t）=t²+（2a-1）t+a²-a（0＜t≤

1

4

），
对称轴t=

1

2

-a，若a≥

1

2

，则区间（0，

1

4

]为增，则f（0）≥0，即有a²-a≥0，解得a≥1；
若

1

2

-a≥

1

4

即a≤

1

4

，则区间（0，

1

4

]为减，则f（

1

4

）≥0，即16a²-8a-3≥0，解得a≥

3

4

或a≤-

1

4

则有a≤-

1

4

；
若0＜

1

2

-a≤

1

4

，则有f（

1

2

-a）≥0，即有

-(2a-1)2+4(a2-a)

4

≥0，解得，a∈∅．
综上可得，a≥1或a≤-

1

4

．
故答案为：a≥1或a≤-

1

4

．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查二次函数在闭区间上的单调性和运用，考查分类讨论的思想方法，以及恒成立问题的解决方法，属于中档题．