Question

如图，已知抛物线C的顶点在原点，开口向右，过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦长为2，过C上一点A作两条互相垂直的直线交抛物线于P，Q两点．
（Ⅰ）若直线PQ过定点T（3，-

2

），求点A的坐标；
（Ⅱ）对于第（Ⅰ）问的点A，三角形APQ能否为等腰直角三角形？若能，试确定三角形APD的个数；若不能，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件求出抛物线的方程为y²=2x．设直线PQ的方程为x=my+n，点P、Q的坐标分别为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．由

x=my+n y2=2x

，得y²-2my-2n=0．由△＞0，得m²+2n＞0，设A点坐标为（

a2

2

，a），则有（x1-

a2

2

）（x2-

a2

2

）+（y₁-a）（y₂-a）=0，由此能求出A点坐标．
（Ⅱ）假设存在以PQ为底边的等腰直角三角形APQ，由（Ⅰ）知，将n用n=3+

2

m，代换得直线PQ的方程为x=my+

2

m

2

+3．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x=my+ 2 m+3 y2=2x

，得y2-2my-2

2

m-6=0．由此推导出函数g（m）在R上有且只有一个零点，所以满足条件的等腰直角三角形有且只有一个．

解答： 解：（Ⅰ）设抛物线的方程为y²=2px，p＞0，依题意，2p=2，
则所求抛物线的方程为y²=2x．…（2分）
设直线PQ的方程为x=my+n，点P、Q的坐标分别为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由

x=my+n y2=2x

，消x得y²-2my-2n=0．由△＞0，得m²+2n＞0，
y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2n．∵AP⊥AQ，∴

AP

•

AQ

=0．
设A点坐标为（

a2

2

，a），则有（x1-

a2

2

）（x2-

a2

2

）+（y₁-a）（y₂-a）=0，
∵x1=

y12

2

，x2=

y22

2

，∴（y₁-a）（y₂-a）[（y₁+a）（y₂+a）+4]=0，
∴（y₁-a）（y₂-a）=0或（y₁+a）（y₂+a）+4=0．
∴2n=a²-2ma或2n=a²+2ma+4，∵△＞0恒成立．∴2n=a²+2ma+4．
又直线PQ过定点T（3，-

2

），即n=3+

2

m，
代入上式得6+2

2

m=a²+2ma+4，a2-2+2m(a-

2

)=0，
注意到上式对任意m都成立，
故有a=

2

，从而A点坐标为（1，

2

）．…（8分）
（Ⅱ）假设存在以PQ为底边的等腰直角三角形APQ，
由第（Ⅰ）问可知，将n用n=3+

2

m，代换得直线PQ的方程为x=my+

2

m

2

+3．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x=my+ 2 m+3 y2=2x

，消x，
得y2-2my-2

2

m-6=0．
∴y₁+y₂=2m，y1•y 2=-2

2

m-6．
∵PQ的中点坐标为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），即（

y12+y22

4

，

y1+y2

2

），
∵

y12+y22

4

=

(y1+y2)2-2y1y2

4

=m2+

2

m+3，∴PQ的中点坐标为（m²+

2

m+3，m）．
由已知得

m- 2

m2+ 2 m+2

=-m，即m3+

2

m2+3m-

2

=0．
设g（m）=m³+

2

m2+3m-

2

，则g′(m)=3m2+2

2

m+3＞0，
∴g（m）在R上是增函数．又g（0）=-

2

＜0，g（1）=4＞0，
∴g（m）在（0，1）内有一个零点．函数g（m）在R上有且只有一个零点，
∴满足条件的等腰直角三角形有且只有一个．…（12分）

点评：本题考查点的坐标的求法，考查满足条件的三角形是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．