Question

【题目】如图所示的多面体中，四边形为菱形，且，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连结BD，交AC于M，连结FM，MG，证明即可解决问题。

（2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量及，利用空间向量夹角公式即可求得直线EC与平面ACF所成角的正弦值，问题得解

证明：（1）连结BD，交AC于M，连结FM，MG，

因为BC＝AD＝2EF，EF∥BC，BC∥AD，所以，

在△ACD中，M，G分别为AC，CD的中点，所以，

所以，所以四边形EFMG是平行四边形，

所以EG∥FM，

又因为FM平面ACF，EC平面ACF，所以EG∥平面ACF．

（2）取AB的中点O，连结FO，OC，

因为AF＝BF＝BC，∠ABC＝60°，四边形ABCD为菱形，所以FO⊥AB，OC⊥AB，

因为平面ABF⊥平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD，

故以O为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设AF＝BF＝BC＝2EF＝2．

则A（－1，0，0），C（0，，0），F（0，0，），E（，，），＝（1，，0），

，，

设＝是平面ACF的一个法向量，

则，，

令y＝z＝1，则，故＝（，1，1），

设直线EC与平面ACF所成角为，

则，

所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为．