Question

【题目】过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）当点异于点时，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先求出椭圆方程，当直线过椭圆右焦点时，写出直线的方程，并和椭圆联立方程，求得点的坐标，根据两点间距离公式即可求得线段的长；（2）设出直线的方程，并和椭圆联立方程，求得点的坐标，并求出点坐标，写出直线与直线的方程，并解此方程组，求得点的坐标，代入即可证明结论.

（1）由已知得，得，

椭圆的方程为，

椭圆的右焦点为，

此时直线的方程为，

由，解得，

；

（2）当直线与轴垂直时与题意不符，所以直线与轴不垂直，即直线的斜率存在，

设直线的方程为

代入椭圆的方程，化简得，解得，

代入直线的方程，得，

所以，的坐标为，

又直线的方程为，直线方程为，

联立解得，即，

而的坐标为，

，

即为定值.