【题目】函数
，其中常数
.
（1）求
的最小值；
（2）若
，讨论
的零点的个数.
【答案】（1）-1（2）见解析
【解析】
(1) 导数为
，研究单调性即可得到
的最小值；
(2)
在其定义域
上的导数是
，对a分类讨论，数形结合即可明确的零点的个数.
解：（1）
在定义域上的导数为.
所以当
时，
；当
时，
.
所以
的单调递减区间是
，单调增区间是
.
所以的最小值是
.
（2）在其定义域上的导数是
①当
时，由（1）可得
在上是增函数，此时由
，可得函数有唯一的零点.
②当
时，
并且对于负数
，有
又因为
，所以
，即
所以在区间
上存在负数
，使得
，则在
上
是增函数；在区间
上
是减函数.则
.所以在上，有且仅有
个零点；
在区间上，
并且
是增函数.
所以存在正数
，使得在
上，是减函数；在
上，是增函数.于是有
所以在上，恰有唯一的零点.
所以当时，在上恰有三个不同的零点.
综上所述，当时，有唯一的零点；当时，有三个不同的零点.
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【题目】为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标
)、推理能力(指标
)、建模能力(指标
)的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标
的值评定学生的数学核心素养，若
，则数学核心素养为一级；若
，则数学核心素养为二级；若
，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：
学生编号 |
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(1)在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；
(2)在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为
，求随机变量的分布列及其数学期望.
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【题目】一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元
世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为
，当
时， 符合条件的共有_____个．
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【题目】如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，N为AD的中点．
（1）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（2）点M在线段PC上且满足
，直线MN与平面PBC所成角的正弦值为
，求实数
的值．
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【题目】设椭圆
的左焦点为
，下顶点为
，上顶点为
，
是等边三角形.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线
，过点且斜率为
的直线与椭圆交于点
异于点
，线段
的垂直平分线与直线
交于点
，与直线交于点
，若
.
(ⅰ)求
的值；
(ⅱ)已知点
，点
在椭圆上，若四边形
为平行四边形，求椭圆的方程.
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【题目】过点
的椭圆
的离心率为
，椭圆与
轴交于两点
、
，过点
的直线
与椭圆交于另一点
，并与轴交于点
，直线
与直线
交于点
.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）当点异于点
时，求证：
为定值.
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【题目】如图，在下列三个正方体
中，
均为所在棱的中点，过作正方体的截面．在各正方体中，直线
与平面
的位置关系描述正确的是
A. 
平面的有且只有①；
平面的有且只有②③
B. 平面的有且只有②；平面的有且只有①
C. .平面的有且只有①；平面的有且只有②
D. 平面的有且只有②；平面的有且只有③
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