Question

【题目】已知函数.

（1）试讨论函数的极值点的个数；

（2）若，且恒成立，求a的最大值.

参考数据：

	1.6	1.7	1.74	1.8	10
	4.953	5.474	5.697	6.050	22026
	0.470	0.531	0.554	0.588	2.303

Answer 1

【答案】（1）当时，没有极值点；时，有唯一极大值点，没有极小值点；（2）10.

【解析】

（1）根据函数解析式，求得导函数，对分类讨论即可由函数单调性确定极值点.

（2）由（1）可知当时，有唯一极大值点，由恒成立代入化简可知，根据零点存在定理可知，从而讨论及讨论，即可确定a的最大值，再代入检验.

（1）函数，定义域为，

则，

当时，，在定义域单调递减，没有极值点；

当时，在单调递减且图像连续，

，时，

∴存在唯一正数，使得，

函数在单调递增，在单调递减，

∴函数有唯一极大值点，没有极小值点，

综上：当时，没有极值点；

当时，有唯一极大值点，没有极小值点.

（2）由（1）知，当时，有唯一极大值点，

∴，

由恒成立，

∵，∴，

∴

令，则在单调递增，

由于，，

∴存在唯一正数，使得，从而.

由于恒成立，

①当时，成立；

②当时，由于，

∴.

令，当时，，

∴在单调递减，从而，

∵，且，且，

∴.

下面证明时，.

，且在单调递减，由于，，

∴存在唯一，使得，

∴.

令，易知在单调递减，

∴，

∴，即时，.

∴a的最大值是10.