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    8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为$\frac{1}{2}$（O为坐标原点）．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若点M在以椭圆C的短轴为直径的圆上，且M在第一象限，过M作此圆的切线交椭圆于P，Q两点．试问△PFQ的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由．

    分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为$\frac{1}{2}$（O为坐标原点），列出方程组，求出a=$\sqrt{2}$，b=1，由此能求出椭圆C的方程．
    （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），${x}_{1}∈（0，\sqrt{2}）$，连结OM，OP，求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=$\sqrt{2}$，从而求出△PFQ的周长为定值2$\sqrt{2}$．

    解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦点为F，上顶点为A，
    且△AOF的面积为$\frac{1}{2}$（O为坐标原点）．
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=1，
    ∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
    （2）设点P在第一象限，设P（x1，y1），Q（x2，y2），${x}_{1}∈（0，\sqrt{2}）$，
    ∴|PF|=$\sqrt{（{x}_{1}-1）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}+1+1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}}$
    =$\sqrt{\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}+2}$=$\sqrt{\frac{1}{2}（{x}_{1}-2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（2-{x}_{1}）$，
    连结OM，OP，则|PM|=$\sqrt{|OP{|}^{2}-|OM{|}^{2}}$
    =$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-1}$=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}-1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}$，
    ∴|PF|+|PM|=$\frac{\sqrt{2}}{2}（2-{x}_{1}）+\frac{\sqrt{2}}{2}{x}_{1}=\sqrt{2}$，
    同理，|QF|+|QM|=$\sqrt{2}$，
    ∴|PF|+|QF|+|PQ|=|PF|+|QF|+|PM|+|QM|=2$\sqrt{2}$，
    ∴△PFQ的周长为定值2$\sqrt{2}$．

    点评 本题考查椭圆方程、两占间距离公式、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．

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    （1）求椭圆C的标准方程；
    （2）已知直线l交椭圆C于A，B两点．
    ①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足$\overrightarrow{PA}=λ\overrightarrow{AF}$$\overrightarrow{PB}=μ\overrightarrow{BF}$，求证：λ+μ为常数；
    ②若OA⊥OB（O为原点），求△AOB的面积的取值范围．

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    19．设数列{an}满足a2+a4=10，点Pn（n，an）对任意的n∈N*，都有向量$\overrightarrow{{P_n}{P_{n+1}}}=（{1，2}）$，则数列{an}的前n项和Sn=n2．

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    A．81B．79C．77D．75

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    13．若复数z-i=1+i，则|z|=（　　）
    A．$\sqrt{2}$B．2C．$\sqrt{5}$D．5

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    A．p∧qB．￢p∧qC．p∧￢qD．（￢p）∧（￢q）

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    17．对于无穷数列{an}，记T={x|x=aj-ai，i＜j}，若数列{an}满足：“存在t∈T，使得只要am-ak=t（m，k∈N*且m＞k），必有am+1-ak+1=t”，则称数列{an}具有性质P（t）．
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    （Ⅱ）求证：“T是有限集”是“数列{an}具有性质P（0）”的必要不充分条件；
    （Ⅲ）已知{an}是各项为正整数的数列，且{an}既具有性质P（2），又具有性质P（5），求证：存在整数N，使得aN，aN+1，aN+2，…，aN+k，…是等差数列．

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