Question

18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦点为F（-1，0），左准线为x=-2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知直线l交椭圆C于A，B两点．
①若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足$\overrightarrow{PA}=λ\overrightarrow{AF}$$\overrightarrow{PB}=μ\overrightarrow{BF}$，求证：λ+μ为常数；
②若OA⊥OB（O为原点），求△AOB的面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的左焦点为F（-1，0），左准线为x=-2，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（2）①设直线l的方程为y=k（x+1），则P（0，k），代入椭圆得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能证明λ+μ为常数-4．
②当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，△AOB的面积${S}_{△AOB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y=kx，OB：y=-$\frac{1}{k}x$，将y=kx代入椭圆C，得到x²+2k²x²=2，由此利用换元法结合已知条件能求出△AOB的面积的取值范围．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦点为F（-1，0），左准线为x=-2，
∴由题设知c=1，$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，a²=2c，
∴a²=2，b²=a²-c²=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
证明：（2）①由题设知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），则P（0，k），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l代入椭圆得x²+2k²（x+1）²=2，
整理，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{PA}=λ\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{PB}=μ\overrightarrow{BF}$，知$λ=\frac{-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}$，$μ=\frac{-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$，
∴λ+μ=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2{x}_{1}{x}_{2}}{1+{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{\frac{-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+\frac{4{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}}{1+\frac{-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$=-$\frac{-4}{-1}=-4$（定值）．
∴λ+μ为常数-4．
解：②当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，△AOB的面积${S}_{△AOB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当直线OA，OB的斜率均存在且不为零时，设OA：y=kx，OB：y=-$\frac{1}{k}x$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将y=kx代入椭圆C，得到x²+2k²x²=2，
∴${{x}_{1}}^{2}=\frac{2}{2{k}^{2}+1}$，${{y}_{1}}^{2}=\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，
同理，${{x}_{2}}^{2}=\frac{2{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，${{y}_{2}}^{2}=\frac{2}{2+{k}^{2}}$，
△AOB的面积S_△AOB=$\frac{OA•OB}{2}$=$\sqrt{\frac{（{k}^{2}+1）^{2}}{（2{k}^{2}+1）（{k}^{2}+2）}}$，
令t=k²+1∈[1，+∞），则S_△AOB=$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{（2t-1）（t+1）}}$=$\sqrt{\frac{1}{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}}}$，
令μ=$\frac{1}{t}$∈（0，1），则${S}_{△AOB}=\sqrt{\frac{1}{-{μ}^{2}+μ+2}}$=$\sqrt{\frac{1}{-（μ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}}$∈[$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
综上所述，△AOB的面积的取值范围是[$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查椭圆方程、韦达定理、向量知识、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．