Question

14．已知函数f（x）=|x+a|+|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤5的解集为A，且2∉A，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因为a=1，所以f（x）=|x+1|+|x-1|≥|x+1-x+1|=2，即可求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）因为2∉A，所以f（2）＞5，即|a+2|+|a-2|＞5，分类讨论，即可求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为a=1，所以f（x）=|x+1|+|x-1|≥|x+1-x+1|=2，
当且仅当（x+1）（x-1）≤0时，即-1≤x≤1时，f（x）的最小值为2．（5分）
（Ⅱ）因为2∉A，所以f（2）＞5，即|a+2|+|a-2|＞5，（7分）
当a＜-2时，不等式可化为-a-2-a+2＞5，解得$a＜-\frac{5}{2}$，所以$a＜-\frac{5}{2}$；
当-2≤a≤2时，不等式可化为a+2-a+2＞5，此时无解；
当a＞2时，不等式可化为a+2+a-2＞5，解得$a＞\frac{5}{2}$，所以$a＞\frac{5}{2}$；
综上，a的取值范围为$（{-∞，-\frac{5}{2}}）∪（{\frac{5}{2}，+∞}）$．（10分）

点评 本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．