Question

4．已知函数f（x）=x³+1，g（x）=2（log₂^x）²-2log₂^x+t-4，若函数F（x）=f（g（x））-1在区间[1，2$\sqrt{2}$]上恰有两个不同的零点，则实数t的取值范围（　　）

• A． [$\frac{5}{2}$，4]
• B． [$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{2}$）
• C． [4，$\frac{9}{2}$）
• D． [4，$\frac{9}{2}$]

Answer 1

分析 令m=log₂^x，则m∈[0，$\frac{3}{2}$]，问题转化为2m²-2m+t-4=0在m∈[0，$\frac{3}{2}$]上有两个不同的实解，即t=-2m²+2m+4在m∈[0，$\frac{3}{2}$]上有两个不同的实解．利用二次函数的图象，可得结论．

解答 解：因为函数F（x）=f（g（x））-1的零点为方程f[2（log₂^x）²-2log₂^x+t-4]=1的根，而f（0）=1，
所以2（log₂^x）²-2log₂^x+t-4=0．
令m=log₂^x，则m∈[0，$\frac{3}{2}$]，问题转化为2m²-2m+t-4=0在m∈[0，$\frac{3}{2}$]上有两个不同的实解，
即t=-2m²+2m+4在m∈[0，$\frac{3}{2}$]上有两个不同的实解．
令y=-2m²+2m+4（m∈[0，$\frac{3}{2}$]），
则y=-$2（m-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{2}$（m∈[0，$\frac{3}{2}$]），∴y_max=$\frac{9}{2}$，
∴函数F（x）=f（g（x））-1在区间[1，2$\sqrt{2}$]上恰有两个不同的零点，可知实数t的取值范围是[4，$\frac{9}{2}$）．
故选C．

点评 本题考查函数的零点，考查二次函数的图象与性质，正确转化是关键．