Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右顶点A（2，0），离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（1）求椭圆C的方程；
（2）设B为椭圆上顶点，P是椭圆C在第一象限上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，问△PMN与△PAB面积之差是否为定值？说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b即可；
（2）设P（x₀，y₀），求出直线PA，PB的方程计算M，N的坐标，则S_△PMN-S_△PAB=S_△MAN-S_△BAN=$\frac{1}{2}$|AN||BM|，化简整理即可得出结论．

解答 解：（1）依题意得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}-{b}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）A（2，0），B（0，1），
设P（x₀，y₀），则x₀²+4y₀²=4，
∴直线PA的方程为：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），令x=0得y_M=$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
∴|BM|=y_M-1=-1-$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
直线PB的方程为：y=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，令y=0得x_N=$\frac{-{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，
∴|AN|=x_N-2=-2-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$，
∴S_△PMN-S_△PAB=S_△MAN-S_△BAN=$\frac{1}{2}$×|AN|×（|OM|-|OB|）=$\frac{1}{2}×$|AN|×|BM|
=$\frac{1}{2}$（-2-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-1}$）（-1-$\frac{-2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$）=$\frac{1}{2}$•$\frac{（2{y}_{0}-2+{x}_{0}）（{x}_{0}-2+2{y}_{0}）}{（{y}_{0}-1）（{x}_{0}-2）}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{{{x}_{0}}^{2}+4+4{{y}_{0}}^{2}-4{x}_{0}+4{x}_{0}{y}_{0}-8{y}_{0}}{{x}_{0}{y}_{0}-{x}_{0}-2{y}_{0}+2}$=$\frac{1}{2}•$$\frac{4{x}_{0}{y}_{0}-4{x}_{0}-8{y}_{0}+8}{{x}_{0}{y}_{0}-{x}_{0}-2{y}_{0}+2}$=$\frac{1}{2}×4$=2．
∴△PMN与△PAB面积之差为定值．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．