Question

15．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，其中$|\overrightarrow a|=1$，$|\overrightarrow b|=2$，且$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$，则$|\overrightarrow a-2\overrightarrow b|$=$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 根据$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$，得出（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$ ）•$\overrightarrow{a}$=0，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，再计算（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$）²从而求出$|\overrightarrow a-2\overrightarrow b|$．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，其中$|\overrightarrow a|=1$，$|\overrightarrow b|=2$，且$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$ ）•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-${\overrightarrow{a}}^{2}$=-1．
∴（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}$=1-4×（-1）+4×4=21．
∴$|\overrightarrow a-2\overrightarrow b|$=$\sqrt{21}$．
故答案为：$\sqrt{21}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是基础题．