Question

5．已知抛物线x²=2py和$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的公切线PQ（P是PQ与抛物线的切点，未必是PQ与双曲线的切点）与抛物线的准线交于Q，F（0，$\frac{P}{2}$），若$\sqrt{2}$|PQ|=$\sqrt{3}$|PF|，则抛物线的方程是（　　）

• A． x²=4y
• B． x²=2$\sqrt{3}$y
• C． x²=6y
• D． x²=2$\sqrt{2}$y

Answer 1

分析 如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF
可得直线PQ的斜率为$\sqrt{2}$，故设PQ的方程为：y=$\sqrt{2}$x+m  （m＜0）
再依据直线PQ与抛物线、双曲线相切求得p．

解答 解：如图过P作PE⊥抛物线的准线于E，根据抛物线的定义可知，PE=PF
∵$\sqrt{2}$|PQ|=$\sqrt{3}$|PF|，在Rt△PQE中，sin$∠PQE=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，∴$tan∠PQE=\sqrt{2}$，
即直线PQ的斜率为$\sqrt{2}$，故设PQ的方程为：y=$\sqrt{2}$x+m  （m＜0）
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=1}\\{y=\sqrt{2}x+m}\end{array}\right.$消去y得$3{x}^{2}+4\sqrt{2}mx+2{m}^{2}+2=0$．
则△₁=8m²-24=0，解得m=-$\sqrt{3}$，即PQ：y=$\sqrt{2}x-\sqrt{3}$
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=\sqrt{2}x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$得${x}^{2}-2\sqrt{2}px+2\sqrt{3}p=0$，△₂=8p²-8$\sqrt{3}$p=0，得p=$\sqrt{3}$．
则抛物线的方程是x²=2$\sqrt{3}$y．故选：B

点评 本题考查了抛物线、双曲线的切线，充分利用圆锥曲线的定义及平面几何的知识是关键，属于中档题．