Question

16．已知直线l过椭圆C：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的左焦点F且交椭圆C于A、B两点．O为坐标原点，若OA⊥OB，则点O到直线AB的距离为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 讨论直线l的斜率，联立方程组消元，利用根与系数的关系，令k_OA•k_OB=-1解出k，得出直线l的方程，从而求得点O到直线l的距离．

解答 解：F（-1，0），
若直线l无斜率，直线l方程为x=-1，此时A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴k_OA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，k_OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴k_OA•k_OB=-$\frac{1}{2}$．不符合题意．
若直线l有斜率，设直线l的方程为y=k（x+1），
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$，消元得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）=$\frac{2{k}^{2}（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{4{k}^{4}}{1+2{k}^{2}}$+k²=-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{{k}^{2}}{2{k}^{2}-2}$=-1，
解得k=$±\sqrt{2}$．
∴直线l的方程为$\sqrt{2}$x-y+$\sqrt{2}$=0或$\sqrt{2}$x+y+$\sqrt{2}$=0，
∴O到直线l的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选A．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用根与系数的关系解题是关键，属于中档题．