Question

6．已知直线2x-$\sqrt{3}$y=0为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的一条渐近线，则该双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，结合题意可得$\frac{b}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，又由双曲线离心率公式e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$，
其渐近线方程为：y=±$\frac{b}{a}$x，
又由其一条渐近线的方程为：2x-$\sqrt{3}$y=0，即y=$\frac{2}{\sqrt{3}}x$，
则有$\frac{b}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
则其离心率e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{7}{3}$，
则有e=$\frac{\sqrt{21}}{3}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是熟悉双曲线的离心率公式．