Question

14．已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，b_n=$\frac{S_n}{n}$，n∈N^*．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）若S₇=7，S₁₅=75，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的求和公式b_n，再利用等差数列的定义即可证明．
（2）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．

解答 （1）证明：设等差数列{a_n}的公差为d，S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d，∴b_n=$\frac{S_n}{n}$=a₁+$\frac{n-1}{2}$d，
∴b_n+1-b_n=a₁+$\frac{n}{2}$d-a₁-$\frac{n-1}{2}$d=$\frac{1}{2}$d为常数，
∴数列{b_n}是等差数列，首项为a₁，公差为$\frac{1}{2}d$．
（2）解：设等差数列{a_n}的公差为d，
∵S₇=7，S₁₅=75，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{7{a_1}+\frac{7×6}{2}d=7}\\{15{a_1}+\frac{15×14}{2}d=75}\end{array}}\right.$，解得a₁=-2，d=1．
∴${b_n}=-2+\frac{1}{2}（{n-1}）=\frac{n-5}{2}$．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．