Question

3．求解下列问题：
（1）求函数f（x）=$\frac{{{{（{x-2}）}^0}}}{{\sqrt{x+1}}}$的定义域；
（2）求函数f（x）=2x-$\sqrt{x-1}$的值域．

Answer 1

分析 （1）由0指数幂的底数不等于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组得答案；
（2）令$\sqrt{x-1}=t（t≥0）$换元，然后利用配方法求函数f（x）=2x-$\sqrt{x-1}$的值域．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2≠0}\\{x+1＞0}\end{array}\right.$，得x＞-1且x≠2，
∴函数f（x）=$\frac{{{{（{x-2}）}^0}}}{{\sqrt{x+1}}}$的定义域为{x|x＞-1且x≠2}；
（2）令$\sqrt{x-1}=t（t≥0）$，则x=t²+1，
则函数f（x）=2x-$\sqrt{x-1}$化为：
y=2t²+2-t=2t²-t+2=$2（t-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}≥\frac{15}{8}$，
∴函数f（x）=2x-$\sqrt{x-1}$的值域为：$\{y|y≥\frac{15}{8}\}$．

点评 本题考查函数的定义域与值域的求法，训练了利用换元法和配方法求函数的值域，是中档题．