Question

【题目】设集合，其中是复数，若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素，则集合___________________；

Answer 1

【答案】或

【解析】

根据若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素，分两种情况讨论，一种两者相乘等于自身的情况，第二种是均不等于自身情况，依次分析。

解：集合中任意两数之积仍是中的元素

所以会出现两者相乘等于自身的情况，也有可能均不等于自身情况

即其中有一项为或者

（1）当时，或

若，则或

所以，或

又因为集合中任意一个数的平方仍是中的元素

所以，剩下的一个数必为-1，所以集合

当时，则必须

又因为集合中任意一个数的平方仍是中的元素

则，

解得，或，，

所以，集合。

（2）当时，三个等式相乘则得到

所以得到或

若，则三者必有一个为0，同（1）可得集合 。

若，则得到，

当时，则可以得到且，则不成立；

当时，则，不成立。

故集合M为或