Question

13．已知函数f（x）=$\frac{ax-1}{x+2}$-e^-（x+2）恰有两个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a≥-$\frac{1}{2}$
• B． a＞0
• C． -$\frac{1}{2}$＜a＜0
• D． -$\frac{1}{2}$＜a≤0

Answer 1

分析 构造函数，作出函数的图象，利用函数f（x）恰有两个零点，求出实数a的取值范围．

解答 解：f（x）=$\frac{ax-1}{x+2}$-e^-（x+2）恰有两个零点，
则$\frac{ax-1}{x+2}$-e^-（x+2）=0有两个解，
即ax-1=（x+2）e^-（x+2）有两个解
令g（x）=ax-1，且过定点（0，-1）
h（x）=（x+2）e^-（x+2），
则h′（x）=（-x-1）e^-（x+2），
x＜-1时，h′（x）＞0，x＞-1时，h′（x）＜0，
图象如图所示，

∴当a＞0时图象有两个交点，
∴实数a的取值范围是a＞0，
故选：B．

点评 本题考查函数的零点，考查导数知识的运用，正确作出函数的图象是关键．