Question

3．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线交椭圆于A、B两点，△AF₁F₂的周长为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当直线AB的斜率为1时，求△F₂AB的面积．

Answer 1

分析 （1）利用离心率，椭圆的定义，列出方程组，即可求的a、b和c的值，即可求得椭圆C的方程；
（2）求得焦点坐标，求得AB的直线方程，代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，由韦达定理求得x₁+x₂，x₁•x₂，由弦长公式及点到直线的距离公式求得丨AB丨和d，由三角形面积公式即可求得△F₂AB的面积．

解答 解：（1）由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
a=2c，
∵△AF₁F₂的周长为6，
即2a+2c=6，即a+c=3，
即可求得a=2，c=1，
b²=a²-c²=3
故椭圆C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）可知焦点F₁（-1，0），
直线AB的方程：y=x+1，
将直线方程代入椭圆方程得：
7x²+8x-8=0，
由x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁•x₂=-$\frac{8}{7}$
由弦长公式丨AB丨=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{2}$×$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
=$\frac{24}{7}$，
F₂到直线的距离为d=$\frac{丨0-1-1丨}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$，
△F₂AB的面积S=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{24}{7}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，考查根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式，三角形的面积公式，考查转化思想，推理能力与计算能力，属于中档题．