Question

（2012•肇庆一模）设函数f（x）=x²+aln（x+1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）+ln

2

有两个极值点x₁，x₂且x₁＜x₂，求证F（x₂）＞

1

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

，令g（x）=2x²+2x+a，则△=4-8a．由根的判断式进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）由F′（x）=f′（x），知函数F（x）有两个极值点时，0＜a＜

1

2

，0＜

1-2a

＜1，由此推导出x₂=

-1+ 1-2a

2

∈（-

1

2

，0），且g（x₂）=0，即a=-（2x22+2x₂），F（x₂）=x22-（2x22+2x2）ln（1+x₂）+ln

2

，构造函数h（x）=x²-（2x²+2x）ln（1+x）+ln

2

，能够证明F（x₂）＞

1

4

．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），（1分）
f′(x)=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

，（x＞-1），（2分）
令g（x）=2x²+2x+a，则△=4-8a．
①当△＜0，即a＞

1

2

时，g（x）＞0，从而f′（x）＞0，
故函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增；（3分）
②当△=0，即a=

1

2

时，g（x）≥0，此时f′（x）≥0，此时f′（x）在f′（x）=0的左右两侧不变号，
故函数f（x）在（-1，0）上单调递增； （4分）
③当△＞0，即a＜

1

2

时，g（x）=0的两个根为x1=

-1- 1-2a

2

，x2=

-1+ 1-2a

2

＞-

1

2

，
当

1-2a

≥1，即a≤0时，x₁≤-1，当0＜a＜

1

2

时，x₁＞-1．
故当a≤0时，函数f（x）在（-1，

-1+ 1-2a

2

）单调递减，在（

-1+ 1-2a

2

，+∞）单调递增；
当0＜a＜

1

2

时，函数f（x）在（-1，

-1- 1-2a

2

），（

-1+ 1-2a

2

，+∞）单调递增，
在（

-1- 1-2a

2

，

-1+ 1-2a

2

）单调递减．（7分）
（Ⅱ）∵F（x）=f（x）+ln

2

，∴F′（x）=f′（x），
∴当函数F（x）有两个极值点时0＜a＜

1

2

，0＜

1-2a

＜1，
故此时x₂=

-1+ 1-2a

2

∈（-

1

2

，0），且g（x₂）=0，即a=-（2x22+2x₂），（9分）
∴F（x₂）=x22+aln（1+x₂）+ln

2

=x22-（2x22+2x2）ln（1+x₂）+ln

2

，
设h（x）=x²-（2x²+2x）ln（1+x）+ln

2

，其中-

1

2

＜x＜0，（10分）
则h′（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x），
由于-

1

2

＜x＜0时，h′（x）＞0，
故函数h（x）在（-

1

2

，0）上单调递增，
故h（x）．h（-

1

2

）=

1

4

．
∴F（x₂）=h（x₂）＞

1

4

．（14分）

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高．解题时要认真审题，注意导数性质、分类讨论思想、等价转化思想的合理运用．