Question

1．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，a₄=10，且a₃，a₆，a₁₀成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）令b_n=（-1）ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求出，
（Ⅱ）分n为偶数和奇数分别求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（I）∵{a_n}为等差数列，且公差为d≠0，
∴a₃=a₄-d=10-d，
∴a₆=a₄+2d=10+2d，
a₁₀=a₄+6d=10+6d，
∵a₃，a₆，a₁₀成等比数列
即（10-d）（10+6d）=（10+2d）²，
整理得10d²-10d=0，
解得d=1或d=0（舍去）．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n+6．
（ II）∵${b_n}={（-1）^n}•{a_n}$，∴${T_n}=-7+8+（-9）+10+…+{（-1）^n}（n+6）$，
当n为偶数时，${T_n}=（-7+8）+（-9+10）+…+[-（n+5）+（n+6）]=1+1+1+…+1=\frac{n}{2}$．
当n为奇数时，T_n=（-7+8）+（-9+10）+…+[-（n+6）]=1+…+1-（n+6）=$\frac{n-1}{2}-（n+6）=-\frac{n+13}{2}$，
∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{n}{2}，n为偶数\\-\frac{n+13}{2}，为奇数\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列的通项公式和等比数列和前n项和公式，属于中档题．