Question

6．设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；并求x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的值域和单调区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f（A）=2，a=$\sqrt{3}$，b+c=3（b＞c），求b、c的长．

Answer 1

分析 （1）根据向量的乘积运算法则，求出f（x）化简成f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．
（2）利用f（A）=2，求出A的大小．利用余弦定理求解b，c的值．

解答 解：由题意：向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），
函数f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x
=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}=π$
∴f（x）的最小正周期为π．
当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，2x$+\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
三角函数的图象和性质：
可得：当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为1+2=3，此时x=$\frac{π}{6}$．
当2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值为1-2=-1，此时x=$-\frac{π}{3}$．
根据正弦函数的单调性可得：
x在（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{3}$）和（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）是单调减区间．
x在（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）是单调增区间．
当x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]时，函数的值域为[-1，3]．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
那么：f（A）=2，即：2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=2．
∵0＜A＜π
∴$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{13π}{6}$．
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$
解得：A=$\frac{π}{3}$．
由cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$．
∵a=$\sqrt{3}$，b+c=3．
即：（b+c）²=9．
∴bc=2．
又b+c=3（b＞c）
解得：b=2，c=1．
故得b的值为2，c的值为1．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质的运用能力，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键