Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+n+1，设b_n=a_n+n+2
（1）证明：数列{b_n}是等比数列．
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求a_n和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+n+1，变形为a_n+1+n+3=2（a_n+n+2），可得b_n+1=2b_n，即可证明；
（2）由（1）可得：b_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，可得a_n=2ⁿ⁺¹-n-2．利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=2a_n+n+1，
∴a_n+1+n+3=2（a_n+n+2），
∵b_n=a_n+n+2，
可得b_n+1=2b_n，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为4，公比为2．
（2）解：由（1）可得：b_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-n-2．
∴S_n=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（3+n+2）}{2}$
=2ⁿ⁺²-4-$\frac{1}{2}（{n}^{2}+5n）$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．