Question

19．已知函数$f（x）=sin（{ωx+φ}）（{ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的图象经过点$（{0，\frac{1}{2}}）$，且相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，若$f（{\frac{A}{2}}）-cosA=\frac{1}{2}$，bc=1，b+c=3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出初相，求出函数的周期，即可得到函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数在[0，π]上的单调递增区间；
（2）利用函数的解析式求出A，然后利用余弦定理求解a的值即可．

解答 解：（1）由f（x）的图象过点$（{0，\frac{1}{2}}）$，得$sinφ=\frac{1}{2}$
又$0＜φ＜\frac{π}{2}$，∴$φ=\frac{π}{6}$…（1分）
由相邻两条对称轴的距离为$\frac{π}{2}$，知f（x）的周期T=π
则$\frac{2π}{ω}=π∴ω=2$…（2分）
∴$f（x）=sin（{2x+\frac{π}{6}}）$…（4分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}，k∈Z$…（5分）
当k=0时，$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{6}$；当k=1时，$\frac{2π}{3}≤x≤\frac{7π}{6}$
所以函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间是$[{0，\frac{π}{6}}]$，$[{\frac{2π}{3}，π}]$…（6分）
（2）由$f（{\frac{A}{2}}）-cosA=\frac{1}{2}$，可得$sin（{A+\frac{π}{6}}）-cosA=\frac{1}{2}$
则$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA-\frac{1}{2}cosA=\frac{1}{2}$…（7分）
化简得$sin（{A-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{2}$…（8分）
∵$0＜A＜π∴-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$…（9分）
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，∴$A=\frac{π}{3}$…（10分）
又bc=1，b+c=3，由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=6，…（11分）
∴$a=\sqrt{6}$…（12分）

点评 本题考查三角函数的解析式的求法，正弦函数的单调性，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．