Question

已知

a

与

b

满足|

b

|=2，

a

与

b

的夹角为120°，则|

b

+t

a

|（t∈R）的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,向量的模

专题：平面向量及应用

分析：设|

a

|=m＞0．由

a

与

b

满足|

b

|=2，

a

与

b

的夹角为120°，利用数量积的定义可得：

a

•

b

=|

a

| |

b

|cos120°=-m．利用数量积的性质可得|

b

+t

a

|=

b 2+t2 a 2+2t a • b

m2(t- 1 m )2+3

，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：设|

a

|=m＞0．
∵

a

与

b

满足|

b

|=2，

a

与

b

的夹角为120°，
∴

a

•

b

=|

a

| |

b

|cos120°=-|

a

|=-m．
∴|

b

+t

a

|=

b 2+t2 a 2+2t a • b

=

m2t2-2mt+4

=

m2(t- 1 m )2+3

≥

3

，当t=

1

m

时取等号．
∴|

b

+t

a

|（t∈R）的最小值为

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查了数量积运算及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．