Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求A₁B与B₁D₁所成的角； 
（2）证明：平面CB₁D₁∥平面A₁BD．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）由B₁D₁∥BD，知∠A₁BD是A₁B与B₁D₁所成的角，由此能求出A₁B与B₁D₁所成的角的大小．
（2）连接 B₁C和 D₁C，由A₁D∥B₁C，A₁B∥D₁C，能证明平面CB₁D₁∥平面A₁BD．

解答： （1）解：∵B₁D₁∥BD，
∴∠A₁BD是A₁B与B₁D₁所成的角，
∵A₁B=BD=A₁D，
∴∠A₁BD=60°．
∴A₁B与B₁D₁所成的角为60°．（5分）
（2）证明：连接 B₁C和 D₁C，
∵A₁D∥B₁C，A₁B∥D₁C，
A₁D∩A₁B=A₁，
A₁D?平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD，
B₁C?平面CB₁D₁，D₁C?平面CB₁D₁，
∴平面CB₁D₁∥平面A₁BD．（10分）

点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查两平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．