Question

顶点在坐标原点的抛物线C以双曲线

x2

12

-

y2

4

=1的左准线l为准线，F为抛物线C的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＞|BF|．
﹙1）求抛物线C的方程；
（2）若直线AB的倾斜角为

π

3

，求AF的长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出抛物线C的准线为x=-3，由此能求出抛物线C的方程为y²=12x．
（2）直线AB的方程为：y=

3

(x-3)，由

y= 3 (x-3) y2=12x

，得x²-10x+9=0，由此能求出AF的长．

解答： 解：（1）∵双曲线

x2

12

-

y2

4

=1的左准线l为x=-

12

12+4

=-3，
∴抛物线C的准线为x=-3，
设抛物线方程为y²=2px，p＞0，
∴-

p

2

=-3，解得p=6，
∴抛物线C的方程为y²=12x．
（2）∵过F（3，0）的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＞|BF|，
直线AB的倾斜角为

π

3

，
∴直线AB的方程为：y=

3

(x-3)，
由

y= 3 (x-3) y2=12x

，得x²-10x+9=0，
解得

x=1 y=-2 3

，或

x=9 y=6 3

，
∵

(3-1)2+(-2 3 )2

=4，

(9-1)2+(6 3 )2

=2

43

．
∴AF的长为2

43

．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要注意两点间距离公式的合理运用．