Question

已知A（1，1），B（5，-2），C（3，4），O是坐标原点，P是直线OA上的一个动点
（1）求证：△ABC是钝角三角形；
（2）试确定点P的位置，使

PB

•

PC

取得最小值，并求此时cos∠BPC的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量的夹角公式即可判断出；
（2）利用向量共线定理和向量的夹角公式、二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵A（1，1），B（5，-2），C（3，4），∴

AC

=（2，3），

AB

=（4，-3）．
∴

AC

•

AB

=|

AC

| |

AB

|cos＜

AC

，

AB

＞=8-9=-1＜0，
cos＜

AC

，

AB

＞＜0，
∴A是钝角，
∴△ABC是钝角三角形；
（2）∵P是直线OA上的一个动点，∴

OP

=λ

OA

=（λ，λ）．
∴

PB

•

PC

=（5-λ，-2-λ）•（3-λ，4-λ）
=（5-λ）（3-λ）+（-2-λ）（4-λ）
=2λ²-10λ+7
=2(λ-

5

2

)2-

11

2

≥-

11

2

．
当λ=

5

2

时，使

PB

•

PC

取得最小值-

11

2

．
此时

OP

=(

5

2

，

5

2

)，
∴

PB

=(

5

2

，-

9

2

)，

PC

=(

1

2

，

3

2

)．
∴|

PB

|=

106

2

，|

PC

|=

10

2

．
∴cos∠BPC=

PB • PC

| PB | | PC |

=

- 11 2

106 2 × 10 2

=--

11 265

265

．

点评：本题考查了向量共线定理和向量的夹角公式、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．