Question

如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：解三角形

分析：（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．
（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．

解答： 解：（1）设CD的长为x米，则tanα=

x

35

，tanβ=

x

80

，
∵0≤2β≤α＜

π

2

，
∴tanα≥tan2β＞0，
∴tanα≥

2tanβ

1-tan2β

，
即

x

35

≥

2• x 80

1- x2 6400

=

160x

6400-x2

，
解得0＜x≤20

2

≈28.28，
即CD的长至多为28.28米．
（2）设DB=a，DA=b，CD=m，
则∠ADB=180°-α-β=123.43°，
由正弦定理得

a

sinα

=

AB

sin∠ADB

，
即a=

115sin38.12°

sin123.43°

≈85.06，
∴m=

802+a2-160acos18.45°

≈26.93，
答：CD的长为26.93米．

点评：本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．