Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin²

A-B

2

+4sinAsinB=2+

2

．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的余弦公式求得cos（A+B）=-

2

2

，从而得到cosC=

2

2

，由此可得C的值．
（Ⅱ）根据△ABC的面积为6=

1

2

ab•sinC求得a的值，再利用余弦定理求得c=

a2+b2-2ab•cosC

的值．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵4sin²

A-B

2

+4sinAsinB=2+

2

，∴4×

1-cos(A-B)

2

+4sinAsinB=2+

2

，
∴-2cosAcosB+2sinAsinB=

2

，即 cos（A+B）=-

2

2

，
∴cosC=

2

2

，∴C=

π

4

．
（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6=

1

2

ab•sinC=

1

2

a×4×

2

2

，∴a=3

2

，
∴c=

a2+b2-2ab•cosC

=

18+16-2×3 2 ×4× 2 2

=

10

．

点评：本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于中档题．