Question

7．设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$，则所有k的值为$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），且x₁，x₂满足方程（1+4k²）x²=4，进而求得x₂的表达式，进而根据$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$求得x₀的表达式，由D在AB上知x₀+2kx₀=2，进而求得x₀的另一个表达式，两个表达式相等即可求得k．

解答 解：依题设得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．
设D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，
且x₁，x₂满足方程（1+4k²）x²=4，故x₂=-x₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
由$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$知x₀-x₁=6（x₂-x₀），得x₀=$\frac{1}{7}$（6x₂+x₁）=$\frac{5}{7}$x₂=$\frac{10}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
由D在AB上知x₀+2kx₀=2，得x₀=$\frac{2}{1+2k}$．所以$\frac{2}{1+2k}$=$\frac{10}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
化简得24k²-25k+6=0，解得k=$\frac{2}{3}$或k=$\frac{3}{8}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和椭圆联立，求交点，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．