Question

15．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为$\sqrt{3}$，此时四面体ABCD外接球表面积为（　　）

• A． 7π
• B． 19π
• C． $\frac{7}{6}$$\sqrt{7}$π
• D． $\frac{19}{6}$$\sqrt{19}$π

Answer 1

分析 三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．

解答 解：根据题意可知三棱锥B-ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，
三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=$\sqrt{3}$，∴∠BDC=120°，∴△BDC的外接圆的半径为$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{sin120°}$=1
由题意可得：球心到底面的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴球的半径为r=$\sqrt{\frac{3}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
外接球的表面积为：4πr²=7π
故选：A．

点评 本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．