Question

10．已知偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的有（2）（3）（4）．
（1）$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{4}$）              
（2）$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＞f（-$\frac{π}{4}$）
（3）f（0）＜$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{4}$）                
（4）f（$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 运用g′（x）=$\frac{f′（x）cosx+f（x）sinx}{co{s}^{2}x}$＞0，构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$是单调递增，且是偶函数，
根据奇偶性，单调性比较大小．运用得出$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$＞f（$\frac{π}{4}$），可以分析（1），（2），
根据单调性得出g（$\frac{π}{4}$）＞g（0），g（$\frac{π}{3}$）＞g（$\frac{π}{6}$），判断（3）（4）．

解答 解：∵偶函数y=f（x）对于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0
∴g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，g′（x）=$\frac{f′（x）cosx+f（x）sinx}{co{s}^{2}x}$＞0，
∴x∈[0，$\frac{π}{2}$），g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$是单调递增，且是偶函数，
∴g（-$\frac{π}{3}$）=g（$\frac{π}{3}$），g（-$\frac{π}{4}$）=g（$\frac{π}{4}$），
∵g（$\frac{π}{4}$）＜g（$\frac{π}{3}$），
∴$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$＜\frac{f（\frac{π}{3}）}{\frac{1}{2}}$，
即$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$＞f（$\frac{π}{4}$），
（1）化简得出$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{4}$），所以（1）不正确．
（2）化简$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＞f（-$\frac{π}{4}$），得出$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{4}$），所以（2）正确．
又根据g（x）单调性可知：g（$\frac{π}{4}$）＞g（0），∴$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$＞$\frac{f（0）}{1}$，
∴f（0）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），
∵偶函数y=f（x）
∴即f（0）＜$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{4}$），
所以（3）正确．
∵根据g（x）单调性可知g（$\frac{π}{3}$）＞g（$\frac{π}{6}$），∴$\frac{f（\frac{π}{3}）}{\frac{1}{2}}$$＞\frac{f（\frac{π}{6}）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{6}$）．
所以（4）正确．
故答案为：（2）（3）（4）

点评 本题考查了运用导数判断函数的单调性，结合三角函数，偶函数性质，判断函数值的大小比较，关键根据式子确定是哪个函数值，属于中档题．