Question

15．定义一种运算a?b=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，令f（x）=（3x²+6x）?（2x+3-x²），则函数f（x）的最大值是4．

Answer 1

分析 运用分段函数的形式，求得f（x）的解析式，分别求得f（x）在两段上的最大值，注意运用二次函数的对称轴和区间的关系．

解答 解：∵a?b=$\left\{\begin{array}{l}{a，a≤b}\\{b，a＞b}\end{array}\right.$，
∴f（x）=（3x²+6x）?（2x+3-x²）=$\left\{\begin{array}{l}{3{x}^{2}+6x，-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{2x+3-{x}^{2}，x＞\frac{1}{2}或x＜-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
当-$\frac{3}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）=3x²+6x=3（x+1）²-3，
可得f（x）在x=-1处取得最小值-3；在x=$\frac{1}{2}$处取得最大值$\frac{15}{4}$；
当x＞$\frac{1}{2}$或x＜-$\frac{3}{2}$时，f（x）=-x2+2x+3=-（x-1）²+4，
当x=1时，f（x）取得最大值4．
综上可得，f（x）的最大值为4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查了函数的最值的求法，注意运用新定义，以及二次不等式的解法，考查二次函数在闭区间上的最值的求法，属于中档题．