Question

4．记S_n=1+2+3+…+n，T_n=1²+2²+3²+…+n²．
（Ⅰ）试计算$\frac{S_1}{T_1}$，$\frac{S_2}{T_2}$，$\frac{S_3}{T_3}$的值，并猜想$\frac{S_n}{T_n}$的通项公式．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算T_n的通项公式，并用数学归纳法证明之．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代值计算即可，由此猜想$\frac{S_n}{T_n}=\frac{3}{2n+1}（{n∈{N^*}}）$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可以猜想${T_n}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$均成立，利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成

解答 解：（Ⅰ）$\frac{S_1}{T_1}=\frac{1}{1^2}=1=\frac{3}{3}$$\frac{S_2}{T_2}=\frac{1+2}{{{1^2}+{2^2}}}=\frac{3}{5}$$\frac{S_3}{T_3}=\frac{1+2+3}{{{1^2}+{2^2}+{3^2}}}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$
猜想：$\frac{S_n}{T_n}=\frac{3}{2n+1}（{n∈{N^*}}）$，
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想：$\frac{S_n}{T_n}=\frac{3}{2n+1}（{n∈{N^*}}）$
又${S_n}=1+2+3+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$，
故${T_n}={S_n}•\frac{2n+1}{3}=\frac{n（n+1）}{2}•\frac{2n+1}{3}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$（n∈N^*），
证明：①当（Ⅱ）时，左边T₁=1，右边=$\frac{1×2×3}{6}=1$左边=右边，猜想成立．
②假设n=k时，猜想成立．即${T_k}=\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$成立．
则当n=k+1时，${T_{k+1}}={T_k}+{（k+1）^2}$=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}+{（k+1）^2}$，
=$\frac{{（k+1）[{k（2k+1）+6（k+1）}]}}{6}$=$\frac{{（k+1）（{2{k^2}+7k+6}）}}{6}$，
=$\frac{（k+1）（k+2）（2k+3）}{6}$=$\frac{{（k+1）[{（k+1）+1}][{2（{k+1}）+1}]}}{6}$，
∴当n=k+1时，猜想也成立．
由①②知对于任意的n∈N^*，${T_n}=\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$均成立．

点评 本题主要考查归纳推理，数学归纳法．考查运算化简能力、推理论证能力、化归转化思想．