Question

3．设椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的右焦点为F，右顶点为A，已知$\frac{|FA|}{|OF|}+\frac{|FA|}{|OA|}=e$，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）动直线l过点N（-2，0），l与椭圆E交于P，Q两点，求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的性质可知：丨FA丨=a-c，丨OF丨=c，丨OA丨=a，代入$\frac{|FA|}{|OF|}+\frac{|FA|}{|OA|}=e$，求得a²=2c²，由a²-c²=b²=1，即可求得a=$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）由题意可知：设l的方程是x=my-2，代入椭圆方程，由△＞0求得m的取值范围，根据韦达定理及三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$丨ON丨•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}-2}}{{m}^{2}+2}$，令t=$\sqrt{{m}^{2}-2}$＞0，则S=$\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{2\sqrt{2}}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可求得m的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的右焦点为F，b=1，
由椭圆的几何性质可知：丨FA丨=a-c，丨OF丨=c，丨OA丨=a，
由$\frac{|FA|}{|OF|}+\frac{|FA|}{|OA|}=e$，整理得（a-c）（$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$）=$\frac{c}{a}$，整理得：a²=2c²，
由a²-c²=b²=1，解得：c=1，则a=$\sqrt{2}$，
∴a的值$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
由题l与x轴不重合，设l的方程是x=my-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得（my-2）²+2y²-2=0，
即（m²+2）y²-4my+2=0，
∵直线与椭圆有相异交点，
△=16m²-8（m²+2）＞0，解得m＞$\sqrt{2}$或m＜-$\sqrt{2}$，
由韦达定理可知：y₁+y₂=$\frac{4m}{{m}^{2}+2}$，y₁•y₂=$\frac{2}{{m}^{2}+2}$，
由△OPQ面积S=$\frac{1}{2}$丨ON丨•丨y₁-y₂丨=$\frac{1}{2}$丨ON丨•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}-2}}{{m}^{2}+2}$，
令t=$\sqrt{{m}^{2}-2}$＞0，
则S=$\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{2\sqrt{2}}{t+\frac{4}{t}}$≤$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
当且仅当t=2，即m=±$\sqrt{6}$时，△OPQ面积的最大，最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，三角形的面积公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．