Question

已知圆C的圆心在直线上，并且与直线相切于点A（2，－1）.

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）从圆C外一点M引圆C的切线MN，N为切点，且MN＝MO（O为坐标原点），求MN的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）MN的最小值为此时点M的坐标为.

【解析】本试题主要是考查了直线与圆的方程，以及圆的切线方程的综合知识的运用。第一问中求解圆的方程，确定圆心和半径即可。第二问中，；利用设坐标，表示MN＝MO，然后化简得到MN为一个元的二次函数形式，借助于二次函数的性质求解其最值的数学思想的运用。

解：（1）与直线相切于点A（2，－1）的圆的圆心在经过点A且与直线 垂直的直线上，该直线的方程是.                            …………2分

又所求圆的圆心在直线上，解方程组

                                                 

得x＝1，y＝－2.

所以圆心C的坐标是（1，－2）.                                    …………4分

因为|AC|＝，                            …………5分

所以所求圆的方程为…………6分

（2）设M（x，y），则MO＝，MN＝，

由MN＝MO，得，                              …………8分

MN＝MO＝＝

…………11分

当时，MN＝因此，MN的最小值为此时点M的坐标为.

…………13分