Question

已知f（x）=

lnx+k

ex

在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，F（x）=xe^xf′（x）
（1）求k的值及F（x）的单调区间；
（2）已知函数g（x）=-x²+2ax（a为正实数），若对于任意x₂∈[0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）由题意可得f′(1)=

1-k

e

=0，解出可得k，从而得F（x），在定义域内解不等式F′（x）＞0，F′（x）＜0即可；
（2）对于任意x₂∈[0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），等价于g（x）_max＜F（x）_max，由（1）易求F（x）_max，分0＜a≤1，a＞1两种情况讨论可求得g（x）_max，解不等式g（x）_max＜F（x）_max可求a的范围；

解答： 解：（1）由已知可得f′(x)=

1 x -Inx-k

ex

，
∴f′(1)=

1-k

e

=0，∴k=1，
∴F（x）=xe^xf'（x）=x(

1

x

-lnx-1)=1-xlnx-x，
∴F'（x）=-lnx-2，
由F′(x)=-lnx-2≥0⇒0＜x≤

1

e2

，由F′(x)=-lnx-2≤0⇒x≥

1

e2

，
∴F（x）的增区间为(0，

1

e2

]，减区间为[

1

e2

，+∞)；
（2）∵对于任意x₂∈[0，1]，总存在x₁∈（0，+∞），使得g（x₂）＜F（x₁），等价于g（x）_max＜F（x）_max，
由（1）知，当x=

1

e2

时，F（x）取得最大值F(

1

e2

)=1+

1

e2

．
对于g（x）=-x²+2ax，其对称轴为x=a
当0＜a≤1时，g(x)max=g(a)=a2，∴a2＜1+

1

e2

，从而0＜a≤1．
当a＞1时，g（x）_max=g（1）=2a-1，∴2a-1＜1+

1

e2

，从而1＜a＜1+

1

2e2

．
综上可知：0＜a＜1+

1

2e2

．

点评：该题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性最值，考查恒成立，考查转化思想、分类讨论思想，恒成立问题往往转化为求函数的最值解决．